Matrices de Transformación

Las matrices de rotación y traslación nos sirven para transformar una coordenada entre diferentes sistemas coordenados, pero tambien lo podemos ver, como la transformación que le hace cada eslabon a nuestro punto de ubicación.

Empecemos con la rotación:

$$ R_z = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

La matriz que escribimos, girará nuestro de eje de coordenadas con respecto al eje $z$ un angulo $\theta$.

Por cierto, las funciones trigonometricas toman como argumento el angulo en radianes, por lo que tomaré la convencion de llamar a $\tau = 2 \pi$, para definir los angulos como fracciones de la vuelta completa.



In [ ]:

    
from math import pi, sin, cos
from numpy import matrix
from matplotlib.pyplot import figure, plot, style
style.use("ggplot")
%matplotlib inline



In [ ]:

    
τ = 2*pi

Para empezar definiremos nuestra posición de inicio, como la coordenada:

$$ P_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$



In [ ]:

    
pos_1 = matrix([[1],
                [0],
                [0],
                [1]])

Agregamos un $1$ al final, debido a que las matrices de transformación homogenea son de dimensión $\Re^{4\times 4}$ y de otra manera no concordarian las dimensiones. Ahora podemos graficar en el plano $XY$ de la siguiente manera:



In [ ]:

    
f1 = figure(figsize=(8, 8))
a1 = f1.gca()
a1.plot([0, pos_1[0]], [0, pos_1[1]], "-o")
a1.set_xlim(-0.1, 1.1)
a1.set_ylim(-0.1, 1.1);

Podemos definir matrices de la siguiente manera, y ver que el resultado es lo que esperariamos si quisieramos rotar el vector unitario $\hat{i}$ , con $30^o$ es decir $\frac{\tau}{12}$.



In [ ]:

    
rot_1 = matrix([[cos(τ/12), -sin(τ/12), 0, 0],
              [sin(τ/12), cos(τ/12), 0, 0],
              [0, 0, 1, 0],
              [0, 0, 0, 1]])

rot_1*pos_1

Pero podemos hacer algo mejor, podemos definir una función que nos devuelva una matriz de rotación, dandole como argumento el angulo de rotación.



In [ ]:

    
def rotacion_z(θ):
    A = matrix([[cos(θ), -sin(θ), 0, 0],
                [sin(θ), cos(θ), 0, 0],
                [0, 0, 1, 0],
                [0, 0, 0, 1]])
    return A

Entonces, tendremos el mismo resultado, con un codigo mas limpio.



In [ ]:

    
rot_2 = rotacion_z(τ/12)
p = rot_2*pos_1
p



In [ ]:

    
f1 = figure(figsize=(8, 8))
a1 = f1.gca()
a1.plot([0, p[0]], [0, p[1]], "-o")
a1.set_xlim(-0.1, 1.1)
a1.set_ylim(-0.1, 1.1);

Ejercicio

Implemente el código para las funciones que devuelvan matrices de rotación en $x$ y $y$.
Implemente el código para las funciones que devuelvan matrices de traslación en $x$, $y$ y $z$.
Implemente una cadena cinemática que describa la transformación hecha por una rotacion en $z$ de $30^o$, una rotación en $y$ de $50^o$ y una traslación en $z$ de $1m$.
Sabemos que un pendulo doble puede ser descrito por una cadena cinemática, implemente una función que tome como argumento los parametros de rotación y traslación de cada uno de sus ejes, y devuelva la posición del actuador final.

Notas

Toma en cuenta que $R_x$ y $R_y$ son:

$$ R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$$$ R_y = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Las matrices de Traslación son muy faciles, un ejemplo es:

$$ T_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$